Teorija haosa, disciplina koja se dinamično razvijala tokom dvadesetog veka, tvrdi da je složenost prirodno pravilo a ne odstupanje. Mnogi fizički sistemi su složeni nelinearni sistemi. Samim tim mnogi fenomeni, čak i kada slede stroga deterministička pravila, u principu su nepredvidivi. Ova nepredvidivost ima svoju geometrijsku suštinu koja dovodi do analitičko-geometrijskog koncepta koji nazivamo fraktalom.
Fraktal je objekt koji kada se uveća ili smanji, otkriva ponavljajuće nivoe detalja koji ukazuju da slične strukture postoje u svim razmerama. Mada su slike slične, njihovi detalji se ni u jednom slučaju ne poklapaju, već imaju svoju neponovljivost.
Povezanost fraktala i haosa nije slučajna. Ona je posledica duboke veze između njih: Fraktalna geometrija je u stvari geometrija haosa!
Haos se ne može opisati tradicionalnom Euklidskom geometrijom kao ni projektivnom ili neeuklidskim geometrijama kao što su geometrije Riemanna i Lobačevskog. Oblici koje srećemo u prirodi su velikom većinom haotični. Takvi su: drveće, trava, paprat, morska obala, rečni tokovi, geološke formacije, površina mora, oblaci, mreža neurona, reljef... Ovakvi oblici velike složenosti mogu se proučavati samo pomoću fraktalne geometrije.
Još početkom 19. veka pojavili su se prvi nagoveštaji teorije haosa. Najpre je opažen u matematičkim kao i fizičkim krugovima. Laplas je početkom 19. veka uveo novu disciplinu kojom je želeo da opiše pojave koje su odstupale od uređenosti i poretka. Suprotno načelu determinizma, teorija verovatnoće dovodi do zaključka, da budućnost na slučajan način zavisi od prošlosti, što je jedan od osnovnih aksioma teorije haosa.
Weierstrass je u drugoj polovini 19. veka definisao funkciju realne promenljive koja je bila daleko od onoga što su matematičari tog vremena smatrali za dobro definisanu i regularnu funkciju. Weierstrassova funkcija nije diferencijabilna ni u jednoj tački oblasti definisanosti, a dužina njenog grafika, na ma kako malom intervalu, je beskonačna.
Najpoznatiji objekat koji je u vezi sa teorijom haosa je Cantorov skup koji se dobija iterativnom procedurom brisanja srednje trećine intervala, počinjući sa intervalom [0,1], a posle beskonačno mnogo koraka, suma dužina odstranjenih intervala je jednaka 1, što znači da je dužina Kantorovog skupa jednaka 0. S druge strane ovaj skup sadrži kontinum mnogo tačaka, tj. može se obostrano jednoznačno preslikati na interval [0,1], što znači da se ne može svesti na skup izolovanih tačaka, zbog čega se još naziva Cantorov prah. Ovaj paradoks topolozi su rešili uvođenjem pojma fraktalne dimenzije, koja se ogleda u činjenici da dimenzija ne mora da bude ceo broj.
Godine 1890 Peano je publikovao konstrukciju realne krive koja se dobija ponavljanjem jednog jednostavnog motiva u sve manjim razmerama. Kriva je izuzetno komplikovana i ispunjava jedinični kvadrat tako da je njena fraktalna dimenzija D=2. To je ujedno i najveća vrednost dimenzije koju jedna kriva u ravni može dostići.
Fraktal je objekt koji kada se uveća ili smanji, otkriva ponavljajuće nivoe detalja koji ukazuju da slične strukture postoje u svim razmerama. Mada su slike slične, njihovi detalji se ni u jednom slučaju ne poklapaju, već imaju svoju neponovljivost.
Povezanost fraktala i haosa nije slučajna. Ona je posledica duboke veze između njih: Fraktalna geometrija je u stvari geometrija haosa!
Haos se ne može opisati tradicionalnom Euklidskom geometrijom kao ni projektivnom ili neeuklidskim geometrijama kao što su geometrije Riemanna i Lobačevskog. Oblici koje srećemo u prirodi su velikom većinom haotični. Takvi su: drveće, trava, paprat, morska obala, rečni tokovi, geološke formacije, površina mora, oblaci, mreža neurona, reljef... Ovakvi oblici velike složenosti mogu se proučavati samo pomoću fraktalne geometrije.
Još početkom 19. veka pojavili su se prvi nagoveštaji teorije haosa. Najpre je opažen u matematičkim kao i fizičkim krugovima. Laplas je početkom 19. veka uveo novu disciplinu kojom je želeo da opiše pojave koje su odstupale od uređenosti i poretka. Suprotno načelu determinizma, teorija verovatnoće dovodi do zaključka, da budućnost na slučajan način zavisi od prošlosti, što je jedan od osnovnih aksioma teorije haosa.
Weierstrass je u drugoj polovini 19. veka definisao funkciju realne promenljive koja je bila daleko od onoga što su matematičari tog vremena smatrali za dobro definisanu i regularnu funkciju. Weierstrassova funkcija nije diferencijabilna ni u jednoj tački oblasti definisanosti, a dužina njenog grafika, na ma kako malom intervalu, je beskonačna.
Najpoznatiji objekat koji je u vezi sa teorijom haosa je Cantorov skup koji se dobija iterativnom procedurom brisanja srednje trećine intervala, počinjući sa intervalom [0,1], a posle beskonačno mnogo koraka, suma dužina odstranjenih intervala je jednaka 1, što znači da je dužina Kantorovog skupa jednaka 0. S druge strane ovaj skup sadrži kontinum mnogo tačaka, tj. može se obostrano jednoznačno preslikati na interval [0,1], što znači da se ne može svesti na skup izolovanih tačaka, zbog čega se još naziva Cantorov prah. Ovaj paradoks topolozi su rešili uvođenjem pojma fraktalne dimenzije, koja se ogleda u činjenici da dimenzija ne mora da bude ceo broj.
Godine 1890 Peano je publikovao konstrukciju realne krive koja se dobija ponavljanjem jednog jednostavnog motiva u sve manjim razmerama. Kriva je izuzetno komplikovana i ispunjava jedinični kvadrat tako da je njena fraktalna dimenzija D=2. To je ujedno i najveća vrednost dimenzije koju jedna kriva u ravni može dostići.