MOJ POGLED NA SVET RASTEREĆEN PREDRASUDA VINKA
FRAKTALNA GEOMETRIJA - OSNOVNI POJMOVI
Aproksimacija realnog sveta oduvek je bila matematički ideal. Svi veliki koraci ka tom cilju bili su od odlučujućeg uticaja za razvoj ljudske tehnologije. Pojava moćnih računara omogućila je realno približavanje tom matematičkom idealu. Danas postoji više matematičkih disciplina koje se bave aproksimacijom realnog sveta ali, do sada, Fraktalna geometrija predstavlja najuspešniji model.
Von Kochova kriva publikovana je 1904. godine i sada se nalazi u svakom udžbeniku osnova diferencijalnog računa kao primer krive koja nema tangentu ni u jednoj tački. Njena fraktalna dimenzija je približno jednaka 1.2612 .
Treba navesti i radove Ljapunova a pre svega Anri Poencarea koji se s pravom može nazvati pionirom teorije haosa. On je haos prikazao kao skup orbita preslikavanja X®X, tj. skup {x,f(x),f(x)2...½ÎX}. Pri tom X je proizvoljan m-dimenzionalni prostor. Trajektorija koja spaja ove tačke naziva se dinamička orbita, a presek ove trajektorije sa (m-1)-dimenzionalnim prostorom je Poencareov presek.
Tokom 20-tih godina ovog veka Poencareove ideje dalje su razvili Gaston Julia i Pier Fatou . Rezultati Julie i Fatoua posebno su impresivni kada se ima na umu da nisu imali kompjutere na raspolaganju tako da su se mogli oslanjati samo na svoju intuitivnu sposobnost vizualizacije. Oni su posmatrali šta se dešava sa nizom tačaka Zn u kompleksnoj ravni pri transformaciji g(Z)=Z2+C. Nova tačka , Zn+1, dobija se kao g(Zn). Očigledno, orbita ovog preslikavanja zavisi od parametra C koji može biti kompleksan broj. Pokazuje se da je ova zavisnost izuzetno osetljiva tako da se izborom dva bliska broja za C dobijaju dve veoma različite trajektorije. One mogu biti toliko različite da jedna konvergira a druga divergira ( u Euklidskoj ili Rimanovoj metrici).
Ovakvi skupovi su se i dalje pojavljivali u matematičkoj literaturi i najzad ih je, krajem sedamdesetih godina ovog veka, Benoit Mandelbrot, otac fraktalne geometrije, nazvao fraktalima. Naziv potiče od latinske reči fractus što znači “slomljeno”. Pojam fraktala naglo se raširio u svesti matematičara, naučnika i laika, kada je objavljeno Mandelbrotovo pionirsko delo “Fraktalna geometrija prirode” (“The Fractal Geometry of Nature”).
U osnovi, fraktali predstavljaju jezik geometrije. Njihovi elementi ne mogu se direktno posmatrati. To ih bitno razdvaja od osnovnih elemenata euklidske geometrije. Fraktali se izražavaju jezikom algoritama. Algoritmi se uz pomoć računara prevode u matematičke oblike. Neiscrpno je mnogo algoritamskih elemenata na raspolaganju. Jezikom fraktala mogu se opisati skoro svi oblici u prirodi od oblaka, površi planete do strukture neurona i citoplazme.
Postoje dve osnovne grupe jezika fraktala: linearni i nelinearni . Obe grupe su sastavljene od beskonačnog broja algoritama pa samim tim sadrže beskonačno mnogo fraktalnih skupova. U linearne fraktale spadaju: Kochove konstrukcije, Peano krive , Hilbertove krive, krive Sierpinskog, pokrivači (gasketi)... Algoritmi ovih fraktala sadrže samo članove prvog reda, kao i linije u ravni, odakle im potiče i ime.
Posebno su važni fraktali generisani najjednostavnijim, dakle, kvadratnim nelinearnostima. One proizvode čitavo bogatstvo geometrijskih oblika pomoću sasvim jednostavnih algoritama i u bliskoj su vezi sa savremenom teorijom haosa.
Najpoznatiji predstavnici grupe nelinearnih fraktala su Julia - skup i Mandelbrotov skup.
Kod generisanja navedenih skupova mogu se uključiti i slučajni procesi ali oni neće uticati na konačni oblik fraktala. Grupa fraktala kod koje su takvi procesi od bitnog značaja spadaju u tzv. slučajne fraktale. Tako se može dobiti površina planete uopštenim Braunovim kretanjem po jednoj kugli. Slučajnim fraktalima mogu se verno prikazati površine planeta, oblici morskih obala, planina...
Primeri grafičke primene fraktala ukazuju na oblast za koju su fraktali idealni. Računar pod kontrolom programa baziranog na fraktalnoj geometriji, može iscrtati grafičke oblike izvanredne složenosti. U principu, svaka se slika može izraziti fraktalnim algoritmima. To dovodi do fundamentalnog napretka u teoriji obrade signala, posebno slike sa veoma dobrim rezultatima u domenu kompresije slike.
Fraktalna geometrija i haos omogućili su doprinos tumačenju naše stvarnosti i otkrivanje novih istina. Fraktali predstavljaju mesto gde se nauka i umetnost prožimaju jer se uz pomoć kompjutera haotični matematički procesi mogu predstaviti vizuelno a dobijene slike svakako mogu imati i estetske vrednosti.
Mandelbrot o Mandelbrotovom skupu:
“U Mandenbrotovom skupu, priroda , (ili je to matematika? ) pruža nam snažan pandan muzičke ideje “varijacije na zadatu temu” isti oblici se svuda ponavljaju, pa ipak je svako ponavljanje donekle različito. Kada bismo se ograničili samo na proste računske operacije , bilo bi nemoguće otkriti ovu osobinu ponavljanja , i mislim da niko ne može biti tako pametan i dovitljiv da “izmisli” ovu bogatu i komplikovanu temu i varijacije. Ona nam ne ostavlja mogućnost da se dosađujemo, jer se stalno ponavljaju nove stvari, ni da se izgubimo, jer se neprestano vraćaju poznate stvari. Zbog ove konstantne inovacije, ovaj skup, po mnogim definicijama nije istinski fraktalan ; Možemo ga nazvati marginalno fraktalnim, granično fraktalnim , koji sadrži mnogo fraktala. U poređenju sa stvarnim fraktalima , njegove strukture su brojnije, njegove harmonije su bogatije, a njegova neočekivanost neočekivanija.”
Benoit Mandelbrot
Fraktalna geometrija i fraktali u sprezi sa kompjuterskom grafikom, pokazali su se najbliži idealu matematičara o aproksimaciji realnog sveta. Nivo tehnološkog razvoja determiniše tempo napretka ka ovom cilju. Za generisanje vernih slika prirode koriste se moćni računarski grafički programi. Oni zahtevaju i snažne računske mašine sa velikim kapacitetom memorije i velikim brzinama procesiranja.
Gafičke informacije od posebnog su značaja u razvoju savremene računarske tehnologije jer su zbog svoje prirode najbliže ljudima. Poseban akcenat stavljen je na razvoj raznih načina prenosa ovih informacija, a samim tim i na metode njihove kompresije. Sve to omogućava njihovo lakše korišćenje i manipulaciju u medijima. I u ovoj oblasti fraktali su se pokazali veoma upotrebljivim.
Postavlja se pitanje da li će računarska grafika i fraktalna geometrija uspeti da na neki način svaku sliku svedu na skup fraktala što bi omogućilo da se grafički zapis prevede na jezik algoritama. Ukoliko se slika posmatra kao sklop više fraktala svaki od njih može se generisati jednostavnim i
FRAKTALNA GEOMETRIJA - OSNOVNI POJMOVI
Aproksimacija realnog sveta oduvek je bila matematički ideal. Svi veliki koraci ka tom cilju bili su od odlučujućeg uticaja za razvoj ljudske tehnologije. Pojava moćnih računara omogućila je realno približavanje tom matematičkom idealu. Danas postoji više matematičkih disciplina koje se bave aproksimacijom realnog sveta ali, do sada, Fraktalna geometrija predstavlja najuspešniji model.
Von Kochova kriva publikovana je 1904. godine i sada se nalazi u svakom udžbeniku osnova diferencijalnog računa kao primer krive koja nema tangentu ni u jednoj tački. Njena fraktalna dimenzija je približno jednaka 1.2612 .
Treba navesti i radove Ljapunova a pre svega Anri Poencarea koji se s pravom može nazvati pionirom teorije haosa. On je haos prikazao kao skup orbita preslikavanja X®X, tj. skup {x,f(x),f(x)2...½ÎX}. Pri tom X je proizvoljan m-dimenzionalni prostor. Trajektorija koja spaja ove tačke naziva se dinamička orbita, a presek ove trajektorije sa (m-1)-dimenzionalnim prostorom je Poencareov presek.
Tokom 20-tih godina ovog veka Poencareove ideje dalje su razvili Gaston Julia i Pier Fatou . Rezultati Julie i Fatoua posebno su impresivni kada se ima na umu da nisu imali kompjutere na raspolaganju tako da su se mogli oslanjati samo na svoju intuitivnu sposobnost vizualizacije. Oni su posmatrali šta se dešava sa nizom tačaka Zn u kompleksnoj ravni pri transformaciji g(Z)=Z2+C. Nova tačka , Zn+1, dobija se kao g(Zn). Očigledno, orbita ovog preslikavanja zavisi od parametra C koji može biti kompleksan broj. Pokazuje se da je ova zavisnost izuzetno osetljiva tako da se izborom dva bliska broja za C dobijaju dve veoma različite trajektorije. One mogu biti toliko različite da jedna konvergira a druga divergira ( u Euklidskoj ili Rimanovoj metrici).
Ovakvi skupovi su se i dalje pojavljivali u matematičkoj literaturi i najzad ih je, krajem sedamdesetih godina ovog veka, Benoit Mandelbrot, otac fraktalne geometrije, nazvao fraktalima. Naziv potiče od latinske reči fractus što znači “slomljeno”. Pojam fraktala naglo se raširio u svesti matematičara, naučnika i laika, kada je objavljeno Mandelbrotovo pionirsko delo “Fraktalna geometrija prirode” (“The Fractal Geometry of Nature”).
U osnovi, fraktali predstavljaju jezik geometrije. Njihovi elementi ne mogu se direktno posmatrati. To ih bitno razdvaja od osnovnih elemenata euklidske geometrije. Fraktali se izražavaju jezikom algoritama. Algoritmi se uz pomoć računara prevode u matematičke oblike. Neiscrpno je mnogo algoritamskih elemenata na raspolaganju. Jezikom fraktala mogu se opisati skoro svi oblici u prirodi od oblaka, površi planete do strukture neurona i citoplazme.
Postoje dve osnovne grupe jezika fraktala: linearni i nelinearni . Obe grupe su sastavljene od beskonačnog broja algoritama pa samim tim sadrže beskonačno mnogo fraktalnih skupova. U linearne fraktale spadaju: Kochove konstrukcije, Peano krive , Hilbertove krive, krive Sierpinskog, pokrivači (gasketi)... Algoritmi ovih fraktala sadrže samo članove prvog reda, kao i linije u ravni, odakle im potiče i ime.
Posebno su važni fraktali generisani najjednostavnijim, dakle, kvadratnim nelinearnostima. One proizvode čitavo bogatstvo geometrijskih oblika pomoću sasvim jednostavnih algoritama i u bliskoj su vezi sa savremenom teorijom haosa.
Najpoznatiji predstavnici grupe nelinearnih fraktala su Julia - skup i Mandelbrotov skup.
Kod generisanja navedenih skupova mogu se uključiti i slučajni procesi ali oni neće uticati na konačni oblik fraktala. Grupa fraktala kod koje su takvi procesi od bitnog značaja spadaju u tzv. slučajne fraktale. Tako se može dobiti površina planete uopštenim Braunovim kretanjem po jednoj kugli. Slučajnim fraktalima mogu se verno prikazati površine planeta, oblici morskih obala, planina...
Primeri grafičke primene fraktala ukazuju na oblast za koju su fraktali idealni. Računar pod kontrolom programa baziranog na fraktalnoj geometriji, može iscrtati grafičke oblike izvanredne složenosti. U principu, svaka se slika može izraziti fraktalnim algoritmima. To dovodi do fundamentalnog napretka u teoriji obrade signala, posebno slike sa veoma dobrim rezultatima u domenu kompresije slike.
Fraktalna geometrija i haos omogućili su doprinos tumačenju naše stvarnosti i otkrivanje novih istina. Fraktali predstavljaju mesto gde se nauka i umetnost prožimaju jer se uz pomoć kompjutera haotični matematički procesi mogu predstaviti vizuelno a dobijene slike svakako mogu imati i estetske vrednosti.
Mandelbrot o Mandelbrotovom skupu:
“U Mandenbrotovom skupu, priroda , (ili je to matematika? ) pruža nam snažan pandan muzičke ideje “varijacije na zadatu temu” isti oblici se svuda ponavljaju, pa ipak je svako ponavljanje donekle različito. Kada bismo se ograničili samo na proste računske operacije , bilo bi nemoguće otkriti ovu osobinu ponavljanja , i mislim da niko ne može biti tako pametan i dovitljiv da “izmisli” ovu bogatu i komplikovanu temu i varijacije. Ona nam ne ostavlja mogućnost da se dosađujemo, jer se stalno ponavljaju nove stvari, ni da se izgubimo, jer se neprestano vraćaju poznate stvari. Zbog ove konstantne inovacije, ovaj skup, po mnogim definicijama nije istinski fraktalan ; Možemo ga nazvati marginalno fraktalnim, granično fraktalnim , koji sadrži mnogo fraktala. U poređenju sa stvarnim fraktalima , njegove strukture su brojnije, njegove harmonije su bogatije, a njegova neočekivanost neočekivanija.”
Benoit Mandelbrot
Fraktalna geometrija i fraktali u sprezi sa kompjuterskom grafikom, pokazali su se najbliži idealu matematičara o aproksimaciji realnog sveta. Nivo tehnološkog razvoja determiniše tempo napretka ka ovom cilju. Za generisanje vernih slika prirode koriste se moćni računarski grafički programi. Oni zahtevaju i snažne računske mašine sa velikim kapacitetom memorije i velikim brzinama procesiranja.
Gafičke informacije od posebnog su značaja u razvoju savremene računarske tehnologije jer su zbog svoje prirode najbliže ljudima. Poseban akcenat stavljen je na razvoj raznih načina prenosa ovih informacija, a samim tim i na metode njihove kompresije. Sve to omogućava njihovo lakše korišćenje i manipulaciju u medijima. I u ovoj oblasti fraktali su se pokazali veoma upotrebljivim.
Postavlja se pitanje da li će računarska grafika i fraktalna geometrija uspeti da na neki način svaku sliku svedu na skup fraktala što bi omogućilo da se grafički zapis prevede na jezik algoritama. Ukoliko se slika posmatra kao sklop više fraktala svaki od njih može se generisati jednostavnim i